Eine Kündigung ist eine einseitige, empfangsbedürftige Willenserklärung. Die Frage der wirksamen Zustellung einer solchen Kündigung ist weitestgehend ausgeurteilt. Danach muss die Kündigung dem wirklich zugehen. Das geschieht i.d.R. durch Einwurf des Briefes in den Briefkasten des Empfängers. Die Beweislast liegt beim Kündigenden, deshalb sollte die Zustellung beweisbar sein, z. B. durch die Versendung eines Einschreibens / Rückschein.
Wird die Kündigung beim Postamt hinterlegt und ein Benachrichtigungsvermerk eingeworfen / angeklebt, so gilt die Kündigung als nicht zugestellt. Selbiges gilt für die Rücksendung der Kündigung wegen fehlender Zustellbarkeit.
Die Kündigung ist damit unwirksam. Es kommt nicht auf den Versand an, sondern auf den Zugang.
Ganz ungeeignet ist hier auch der Hinweis mit dem Kontoauszug. Das ist schlicht falsch. Hier muss der Empfänger schon mit dem Hinweis schlicht nicht rechnen. Diese Form der Kündigung zeigt nur, dass man hiervon einfach mal gar keine Ahnung hat.
Fraglich wäre hier allerdings, ob sich der Vermieter mit vertraglichen Ansprüchen später durchsetzen kann, wenn dieser sowohl die neue Anschrift nicht mitgeteilt hat und auch einen Nachsendeantrag nicht stellte.