Ich würde es mit Glyphosat machen, das ich persönlich für recht unbedenklich halte, was Menschen und Katzen angeht. Dann ist das Mähen vorher aber kontraproduktiv. Wenn du keine Chemie einsetzen willst, Abmähen und mit der Gartenfräse drüber, das ist dann noch recht günstig und schnell im Vergleich zu den anderen Varianten. Wenn noch Erde draufkommt, würde ich nichts weiteres machen - wenn der Rasen korrekt gepflegt wird, hat Unkraut da nicht viele Chancen.
Je nach Beschaffenheit deines Mutterbodens würde ich empfehlen, auf den Rasenflächen noch Sand unterzumischen.