Ein Mieter kann nicht verpflichtet werden, eine Einbauküche abzukaufen bei Einzug - nur kann dann eben der Vermieter sich einen anderen Mieter suchen. Deiner Mutter gehört jetzt die Küche, die freilich keinen Restwert mehr haben dürfte. Einfach drin lassen? Dann kann der Eigentümer diese kostenpflichtig entfernen und entsorgen lassen. Würde ich nicht riskieren.
Natürlich könnt ihr versuchen, dem Eigentümer die Küche zum Kauf anzubieten. Vielleicht mal 200 Euro ansetzen; geht er nicht darauf ein, fragen, ob ihr sie drin lassen dürft. Das aber bitte unbedingt schriftlich bestätigen lassen.
Sollte er darauf bestehen, dass die Küche raus kommt, könnt ihr es in den Kleinanzeigen versuchen. Sind die Geräte noch gut, dann diese einzeln verkaufen und die restliche Küche versuchen zu verschenken - oder eben entsorgen.